Los números racionales o fracciones: suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación. Definición, propiedades y ejemplos.

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LOS NÚMEROS RACIONALES O FRACCIONES

1) SUMA Y RESTA DE NÚMEROS RACIONALES

A. SUMA Y RESTA DE FRACCIONES HOMOGENEAS

Dos o más fracciones son homogéneas si tienen el mismo denominador. Para resolver se escribe el mismo denominador y se suman o restan los numeradores.

Ejemplo:

Resuelve la suma de fracciones homogéneas.

$\frac{3}{4}+\frac{7}{4}$

Solución:

Observamos que las fracciones tienen el mismo denominador, es 4.

Se escribe el denominador común 4 y se suman los numeradores 3 más 7.

$\frac{3+7}{4}$

Nos da como resultado $\frac{10}{4}$

Simplificamos, dividimos el numerador 10 entre 2 se tiene 5 y dividimos el denominador 4 entre 2 se tiene 2.

El resultado final es $\frac{5}{2}$

Vídeo suma de fracciones homogéneas: https://youtu.be/aGOm9Ha7j5Y

Ejemplo:

Resuelve la resta de fracciones homogéneas.

$\frac{8}{3}-\frac{5}{3}$

Solución:

Observamos que las fracciones tienen el mismo denominador, es 3.

Se escribe el denominador común 3 y se restan los numeradores 8 menos 5.

$\frac{8-5}{3}$

Nos da como resultado $\frac{3}{3}$

Simplificamos o dividimos 3 entre 3 nos da como resultado 1.

El resultado final es 1

Vídeo resta de fracciones homogéneas: https://youtu.be/w-4ghmTB9U0

Vídeo suma y resta de fracciones homogéneas: https://youtu.be/SbCAsrF9rWE

B. SUMA Y RESTA DE FRACCIONES HETEROGENEAS

Para sumar o restar fracciones heterogéneas existen muchos métodos o técnicas: 1) homogenizando o convirtiendo las fracciones en homogéneas, 2) calculando el mínimo común múltiplo y 3) aplicando el teorema de adición y sustracción de números racionales o fracciones.

1) Convirtiendo a fracciones homogéneas:

Las fracciones heterogéneas las convertimos a fracciones homogéneas, luego resolvemos como el caso anterior.

Ejemplo:

Resuelve la suma y resta de fracciones heterogéneas.

$\frac{2}{3}+\frac{1}{2}-\frac{4}{5}$

Solución:

Calculamos el mínimo común múltiplo de los denominadores.

m.c.m. (2; 3; 5) = 30

Para homogenizar, los denominadores de las fracciones deben ser 30.

Multiplicamos al denominador y denominador de $\frac{2}{3}$ por 10, de $\frac{1}{2}$ por 15 y de $\frac{4}{5}$ por 6.

$\frac{2\cdot 10}{3\cdot 10}+\frac{1\cdot 15}{2\cdot 15}-\frac{4\cdot 6}{5\cdot 6}$

Multiplicando numerador y denominador.

$\frac{20}{30}+\frac{15}{30}-\frac{24}{30}$

Ya tenemos tres fracciones homogéneas. Escribimos el denominador común 30 y sumamos y restamos los números del numerador.

$\frac{20+15-24}{30}$

$\frac{11}{30}$

El resultado final es $\frac{11}{30}$

Vídeo suma de fracciones heterogéneas convirtiendo a homogéneas: https://youtu.be/LYlaRyGJyPQ

2) Calculando el mínimo común múltiplo:

Ejemplo:

Resuelve la suma y resta de fracciones heterogéneas aplicando el mínimo común múltiplo.

$\frac{3}{5}-\frac{2}{3}-\frac{1}{2}$

Solución:

Calculamos el mínimo común múltiplo de los denominadores 2; 3 y 5

m.c.m.(2; 3; 5) = 30

Dividimos 30 entre el denominador de cada fracción y multiplicamos por el numerador de la misma fracción.

$\frac{18-20-15}{30}$

Sumamos y restamos los números enteros del numerador.

$\frac{-17}{30}$

El resultado final es $-\frac{17}{30}$

3) Aplicando el teorema:

A) Teorema suma de fracciones heterogéneas

$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}$

Ejemplo:

Resuelve la suma de fracciones heterogéneas aplicando el teorema.

$\frac{5}{6}+\frac{7}{5}$

Solución:

En el denominador, se escribe la multiplicación de los denominadores de las fracciones.

6 x 5 = 30

Se multiplica en aspa 5 x 5 = 25 se escribe en el numerador del resultado.

Se escribe el signo menos ( + ) en el numerador.

Se multiplica en aspa 6 x 7 = 42 se escribe en el numerador del resultado.

$\frac{25+42}{30}$

Resolvemos en el numerador 25 + 42 = 67

El resultado final es: $\frac{67}{30}$

B) Teorema resta de fracciones heterogéneas

$\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{ad-bc}{bd}$

Ejemplo:

Resuelve la resta de fracciones heterogéneas aplicando el teorema.

$\frac{4}{5}-\frac{3}{7}$

Solución:

En el denominador, se escribe la multiplicación de los denominadores de las fracciones.

5 x 7 = 35

Se multiplica en aspa 4 x 7 = 28 se escribe en el numerador del resultado.

Se escribe el signo menos ( - ) en el numerador.

Se multiplica en aspa 5 x 3 = 15 se escribe en el numerador del resultado.

$\frac{28-15}{35}$

Resolvemos en el numerador 28 – 15 = 13

El resultado final es: $\frac{13}{35}$

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE

1) Resuelve aplicando los tres métodos:

a) $\frac{4}{5}+\frac{7}{3}$ b) $\frac{1}{2}-\frac{5}{7}$ c) $\frac{5}{2}+\frac{1}{4}-\frac{2}{7}$ d) $\frac{7}{4}-\frac{1}{5}+\frac{3}{6}$

Vídeo multiplicación de fracciones o racionales: https://youtu.be/XC2wJn5D-9A

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES

TEOREMA: MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES

Al multiplicar fracciones:

El numerador del resultado o producto se obtiene multiplicando los numeradores del multiplicando y multiplicador.

El denominador del resultado o producto se obtiene multiplicando los denominadores del multiplicando y multiplicador.

$\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$

*El teorema es válido para multiplicar fracciones homogéneas y heterogéneas

Ejemplo:

1) Resuelve la multiplicación de números racionales

$\frac{3}{7}\cdot \frac{4}{5}$

Solución:

Multiplicamos los numeradores 3 x 4 = 12, es el numerador del resultado.

Multiplicamos los denominadores 7 x 5 = 35, es el denominador del resultado.

$\frac{3x4}{7x5}=\frac{12}{35}$

El resultado final es $\frac{12}{35}$

2) Resuelve la multiplicación de números racionales

$\frac{2}{8}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{5}{10}$

Solución:

Multiplicamos los numeradores de las tres fracciones 2 x 4 x 5 = 40, es el numerador del resultado.

Multiplicamos los denominadores 8 x 3 x 10 = 240, es el denominador del resultado.

$\frac{2x4x5}{8x3x10}=\frac{40}{240}$

Simplificamos el numerador dividiendo entre 40, 40 ÷ 40 = 1

Simplificamos el denominador dividiendo entre 40, 240 ÷ 40 = 6

Nos da como resultado:

$\frac{1}{6}$

El resultado final es $\frac{1}{6}$

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE

Resuelve la multiplicación de números racionales:

a) $\frac{5}{7}\cdot \frac{8}{10}$ b) $\frac{12}{5}\cdot \frac{3}{8}$ c) $\frac{-6}{15}\cdot \frac{9}{-10}\cdot \frac{-4}{3}$ d) $\frac{8}{-7}\cdot \frac{1}{24}\cdot \frac{-7}{18}$

DIVISIÓN DE NÚMEROS RACIONALES

TEOREMA: DIVISIÓN DE FRACCIONES

Al dividir fracciones:

Se multiplica en aspa el numerador del dividendo por el denominador del divisor, este resultado es el numerador del cociente o resultado.

Se multiplica en aspa el denominador del dividendo por el numerador del divisor, este resultado es el denominador del cociente o resultado.

$\frac{a}{b}\div \frac{c}{d}=\frac{ad}{bc}$

Ejemplos:

Resuelve la división de números racionales o fracciones

1) $\frac{6}{-5}\div \frac{12}{20}$

Solución:

Multiplicamos en aspa 6 x 20 = 120 escribimos en el numerador del cociente o resultado.

Multiplicamos en aspa - 5 x 12 = - 60 escribimos en el denominador del cociente o resultado.

$\frac{120}{-60}$

Dividimos los signos, por ley de signos, + ÷ - = -, más entre menos es igual a menos.

Simplificando, dividimos el numerador 120 ÷ 60 = 2.

Simplificando, dividimos el numerador - 60 ÷ 60 = 1.

Se tiene:

$-\frac{2}{1}$

El resultado final es – 2

2) $\frac{21}{-8}\cdot \frac{-21}{-24}\div \frac{-7}{14}$

Solución:

Antes de aplicar propiedades, simplificamos la segunda y tercera fracción.

Segunda fracción.

$\frac{-21}{-24}$

Menos entre menos es igual a más. - ÷ - = +

Dividimos el numerador 21 ÷ 3 = 7

Dividimos el denominador 24 ÷ 3 = 8

Se tiene:

$\frac{7}{8}$

Tercera fracción.

$\frac{-7}{14}$

Los signos los dejamos como tal.

Dividimos el numerador 7 ÷ 7 = 1

Dividimos el denominador 14 ÷ 7 = 2

Se tiene:

$\frac{-1}{2}$

Después de haber simplificado se tiene:

$\frac{21}{-8}\cdot \frac{7}{8}\div \frac{-1}{2}$

Como se tiene las operaciones de multiplicación y división, se puede resolver de izquierda a derecha.

Otra forma es, resolver primero la división y luego la multiplicación.

Las dos formas son válidas.

Resolvemos con la primera forma, de izquierda a derecha.

Por el teorema multiplicación de fracciones.

En el numerador, multiplicamos 21 x 7 = 147

En el denominador, multiplicamos – 8 x 8 = – 64

Se tiene:

$\frac{147}{-64}\div \frac{-1}{2}$

Por el teorema división de fracciones.

Multiplicamos en aspa 147 x 2 = 294 es el numerador del cociente.

Multiplicamos en aspa – 64 x – 1 = 64 es el denominador del cociente.

$\frac{294}{64}$

Simplificando la fracción, numerador y denominador.

Dividimos en el numerador 294 ÷ 2 = 147

Dividimos en el denominador 64 ÷ 2 = 32

El resultado final:

$\frac{147}{32}$

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE

1) Resuelve:

a) $\frac{5}3{}\cdot \frac{18}{10}$ b) $\frac{24}{20}\div \frac{8}{10}$ c) $\frac{-16}{12}\div \frac{24}{-10}\cdot \frac{-16}{9}$ d) $\frac{81}{-32}\cdot \frac{12}{24}\div \frac{-10}{14}$

Vídeo de división de racionales o fracciones: https://youtu.be/zheTokp3Zbk

Vídeo recomendado:

POTENCIACION DE FRACCIONES O RACIONALES – PROPIEDADES Y EJEMPLOS

DEFINICIÓN:

La potenciación es la operación matemática entre dos números denominados: base y exponente. La base se multiplica el número de veces que nos indica el exponente. El resultado es la potencia.

Ejemplo:

$\left ( -\frac{2}{3} \right )^{3}=\left ( -\frac{2}{3} \right )\left ( -\frac{2}{3} \right )\left ( -\frac{2}{3} \right )=-\frac{8}{27}$